高等数学(下册)(修订版)

教材名称：	高等数学(下册)(修订版)
ISBN号：	978-7-89436-247-6	作者：	张黎丽
字数：	496千字	规格：	16开
印制时间：	2017-02-01	出版日期：	2014-02-01
定价：	42.5 元	样章下载：	样章.pdf
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1.适用对象

本教材是作者在多年教学改革和教学研究的基础上,总结以前主编、参编教材的经验教训,结合大连东软信息学院CDIO 教学改革的探索与实践而编写的,主要针对应用型本科作为基础课的高等数学(下)而编写,也可作为专科学生高等数学课程或者微积分课程的教材或教学参考教材。

2.具备的知识和能力基础

学习本课程,要求学生具备《高等数学(上册)》所要求的知识和能力基础,记忆函数、极限、连续、导数和积分的概念,理解一元函数微积分的基本性质,能运用微积分理论解决实际问题。

3.教学总体目标

通过本课程的学习,使学生掌握多元微积分、级数和微分方程的基本概念、基本理论、基本计算,为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础;通过运用变量数学方法解决实际问题的初步训练,具备应用数学知识、数学思想和数学工具解决专业领域相关数学问题的能力。

通过学习,培养学生抽象思维、逻辑推理、空间想象等数学思维能力,初步培养学生的数学素养,培养学生具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的创造性思维能力、养成终生学习、自主学习的习惯,受到书面表达和团队协作的基本训练。

教材的编写以CDIO 教学理念为指导,以CDIO 教学模式和教学方法为指引,以能力培养为目标,以项目导向为方法,以“做中学”为手段,上机操作贯穿始终,教学内容体现“五多五少二充分一注重”,即多一点思想方法,少一点死记硬背;多一点归纳引入,少一点演绎证明;多一点事例论证,少一点理论推导;多一点概念强化,少一点计算技巧;多一点项目渗透,少一点特殊题型;充分体现CDIO 改革思想,充分利用计算机解决实际问题;注重自学能力和应用数学知识解决实际问题能力的培养。

本教材从应用型本科学生的实际出发,以CDIO 教学理念为指导,合理编排教材结构,每一节包括知识目标、能力目标、知识正文、知识和能力拓展及学习效果评估;在精选教学内容的基础上,注意以实际案例引入概念,讲解理论,用理论知识解决实际问题,逐步渗透数学模型思想,尽可能再现知识的归纳形成过程,使抽象问题具体化,复杂问题简单化,同时培养学生的创造性

思维能力。针对学生基础、理解能力等掌握数学知识能力的差异性和人们的认识规律,分层配备例题和习题,例题难度逐步递进,习题分为基本题、提高题和应用案例三类。

第6章多元函数微分学…………………………………………………………………… 1

6.1 向量及其线性运算……………………………………………………………………… 2

6.1.1 空间直角坐标系………………………………………………………………… 3

6.1.2* 向量及其线性运算…………………………………………………………… 5

6.1.3* 利用坐标作向量的线性运算………………………………………………… 7

6.1.4* 向量的模、方向角、投影……………………………………………………… 9

6.2* 数量积向量积……………………………………………………………………… 14

6.2.1 两向量的数量积……………………………………………………………… 15

6.2.2 两向量的向量积……………………………………………………………… 16

6.3 曲面及其方程………………………………………………………………………… 20

6.3.1 曲面方程的概念……………………………………………………………… 20

6.3.2 旋转曲面……………………………………………………………………… 22

6.3.3 柱面…………………………………………………………………………… 23

6.3.4 二次曲面……………………………………………………………………… 24

6.4 空间曲线及其方程…………………………………………………………………… 29

6.4.1 空间曲线的一般方程………………………………………………………… 29

6.4.2 空间曲线的参数方程………………………………………………………… 30

6.4.3 空间直线的一般方程………………………………………………………… 31

6.5 多元函数的基本概念………………………………………………………………… 34

6.5.1 平面区域……………………………………………………………………… 34

6.5.2 n维空间……………………………………………………………………… 36

6.5.3 多元函数的概念……………………………………………………………… 36

6.5.4 二元函数的极限……………………………………………………………… 38

6.5.5 二元函数的连续性…………………………………………………………… 40

6.6 偏导数………………………………………………………………………………… 43

6.6.1 偏导数的概念………………………………………………………………… 44

6.6.2 偏导数的计算………………………………………………………………… 45

6.6.3 偏导数的几何意义…………………………………………………………… 47

6.6.4 偏导数存在与连续的关系…………………………………………………… 48

6.6.5 高阶偏导数…………………………………………………………………… 48

6.6.6* 偏导数在经济分析中的应用……………………………………………… 50

6.7 全微分………………………………………………………………………………… 54

6.7.1 全微分的概念………………………………………………………………… 54

6.7.2 多元函数可微、偏导数存在与连续的关系…………………………………… 57

6.7.3 全微分的几何意义…………………………………………………………… 58

6.7.4 全微分在近似计算中的应用………………………………………………… 59

6.8 多元复合函数与隐函数偏导数……………………………………………………… 61

6.8.1 多元复合函数的求导法则…………………………………………………… 62

6.8.2 全微分的形式不变性………………………………………………………… 65

6.8.3 隐函数的求导………………………………………………………………… 66

6.9* 多元函数微分法在几何上的应用………………………………………………… 69

6.9.1 空间曲线的切线与法平面…………………………………………………… 70

6.9.2 曲面的切平面与法线………………………………………………………… 71

6.10* 方向导数与梯度…………………………………………………………………… 74

6.10.1 方向导数……………………………………………………………………… 74

6.10.2 梯度的概念…………………………………………………………………… 76

6.10.3 等高线的概念………………………………………………………………… 78

6.11 多元函数的极值……………………………………………………………………… 80

6.11.1 多元函数的极值……………………………………………………………… 80

6.11.2 多元函数的最大值与最小值………………………………………………… 83

6.11.3* 条件极值与拉格朗日乘数法……………………………………………… 86

6.11.4* 最小二乘法………………………………………………………………… 89

单元训练……………………………………………………………………………………… 91

第7章多元函数积分学…………………………………………………………………… 96

7.1 二重积分的概念与性质……………………………………………………………… 96

7.1.1 二重积分的概念……………………………………………………………… 98

7.1.2 二重积分的性质……………………………………………………………… 99

7.2 二重积分的计算……………………………………………………………………… 102

7.2.1 利用直角坐标计算二重积分………………………………………………… 102

7.2.2 利用极坐标计算二重积分…………………………………………………… 108

7.3* 三重积分…………………………………………………………………………… 114

7.3.1 三重积分的概念……………………………………………………………… 114

7.3.2 三重积分的计算……………………………………………………………… 115

7.4* 曲线积分…………………………………………………………………………… 122

7.4.1 对弧长的曲线积分…………………………………………………………… 124

7.4.2 对坐标的曲线积分…………………………………………………………… 126

7.4.3 两类曲线积分之间的联系…………………………………………………… 131

7.5* 格林公式及其应用………………………………………………………………… 133

7.5.1 格林公式……………………………………………………………………… 134

7.5.2 曲线积分与路径无关的条件………………………………………………… 136

7.6* 曲面积分…………………………………………………………………………… 140

7.6.1 对面积的曲面积分…………………………………………………………… 142

7.6.2 对坐标的曲面积分…………………………………………………………… 145

7.6.3 两类曲面积分之间的联系…………………………………………………… 147

7.7* 高斯公式与斯托克斯公式………………………………………………………… 151

7.7.1 高斯公式……………………………………………………………………… 151

7.7.2 斯托克斯公式………………………………………………………………… 153

单元训练…………………………………………………………………………………… 155

第8章级数……………………………………………………………………………… 158

8.1 数列的极限…………………………………………………………………………… 158

8.1.1 数列的概念…………………………………………………………………… 159

8.1.2 数列的极限…………………………………………………………………… 160

8.1.3 收敛数列的性质……………………………………………………………… 160

8.1.4 数列极限的运算法则………………………………………………………… 161

8.2 常数项级数…………………………………………………………………………… 162

8.2.1 常数项级数的概念…………………………………………………………… 163

8.2.2 收敛级数的基本性质………………………………………………………… 164

8.3 常数项级数的审敛法………………………………………………………………… 171

8.3.1 正项级数及其审敛法………………………………………………………… 172

8.3.2 交错级数及其审敛法………………………………………………………… 176

8.3.3 绝对收敛与条件收敛………………………………………………………… 177

8.4 幂级数……………………………………………………………………………… 180

8.4.1 函数项级数的概念…………………………………………………………… 180

8.4.2 幂级数及其收敛性…………………………………………………………… 181

8.4.3 幂级数的运算………………………………………………………………… 185

8.5 函数展成幂级数……………………………………………………………………… 188

8.5.1 泰勒级数……………………………………………………………………… 189

8.5.2 泰勒公式……………………………………………………………………… 190

8.5.3 函数展开成幂级数…………………………………………………………… 191

单元训练…………………………………………………………………………………… 196

第9章微分方程…………………………………………………………………………… 199

9.1 可分离变量微分方程………………………………………………………………… 199

9.1.1 微分方程的概念……………………………………………………………… 200

9.1.2 可分离变量的微分方程……………………………………………………… 202

9.2 齐次方程……………………………………………………………………………… 207

9.2.1 齐次方程的概念……………………………………………………………… 208

9.2.2 齐次方程的解法……………………………………………………………… 208

9.3 一阶线性微分方程…………………………………………………………………… 214

9.3.1 一阶线性微分方程的概念…………………………………………………… 215

9.3.2 一阶线性微分方程的解法…………………………………………………… 215

9.3.3 可化为一阶线性微分方程求解的微分方程………………………………… 218

9.4 可降阶的高阶微分方程……………………………………………………………… 221

9.4.1 形如y(n)=f(x)的微分方程……………………………………………… 222

9.4.2 形如y″=f(x,y′)的微分方程…………………………………………… 223

9.4.3 形如y″=f(y,y′)的微分方程…………………………………………… 224

9.5 二阶常系数线性微分方程…………………………………………………………… 227

9.5.1 二阶线性微分方程解的结构………………………………………………… 228

9.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程……………………………………………… 229

9.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程…………………………………………… 231

9.6* 差分方程…………………………………………………………………………… 235

9.6.1 差分的基本概念……………………………………………………………… 236

9.6.2 差分方程……………………………………………………………………… 237

单元训练…………………………………………………………………………………… 243

附录A1 知识与能力拓展………………………………………………………………… 246

第一节多元函数的微分学……………………………………………………………… 246

第二节重积分的计算与应用…………………………………………………………… 259

第三节无穷级数………………………………………………………………………… 269

第四节微分方程求解问题……………………………………………………………… 271

附录A2 直线与平面……………………………………………………………………… 274

第一节平面及其方程…………………………………………………………………… 274

第二节空间直线及其方程……………………………………………………………… 278

附录A3 学习知识要点及能力要点…………………………………………………… 283

习题答案……………………………………………………………………………………… 284

参考文献……………………………………………………………………………………… 306

本教材是在编写出版《多元微积分》的基础上,结合大连东软信息学院CDIO 教学改革的探索与实践而编写的。内容包括多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数和微分方程。附录中增加了作为知识与能力拓展指导的应用数学软件Mathematica的介绍和空间解析几何的扩充内容。本教材主要针对应用型本科作为基础课的高等数学(下)而编写,也可作为专科学生高等数学课程的教材或教学参考教材。教材注重强化基本概念、基本理论、基本计算;注重利用计算机解决数学问题;注重应用数学知识解决实际问题能力的培养;注重数学思想方法和数学思维的训练;注重自学能力的培养与提高。教材编写经过一体化设计,以CDIO 教学理念为指导,以CDIO 教学模式和教学方法为指引,注重能力培养,强调以项目为导向,强化“做中学”的理念。